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摘要：由消点法证明平面几何问题得到启发，利用向量特有的线性运算将题目涉及的点逐步消去简化问题，或者构造封闭回路，绕开困难点，利用一些几何关系，通过数量积的工具最终达到消点（向量）的目的，从而解决问题．
关键词：消点法 平面向量 几何关系
消点法是张景中院士提出来的一种机械证明平面几何问题的方法，其基本思想就是通过面积工具，将问题涉及的点逐步消去，从而简化图形，解决问题．特别是问题涉及一些位置很难刻画的点的时候，利用消点法处理尤为方便．平面向量中也会经常遇到涉及点多而复杂、或者点的位置难以刻画的问题，使得问题的求解变得困难．从消点法证明平面几何问题的思想中得到启发，利用向量特有的线性运算将题目涉及的点逐步消去简化问题，或者构造封闭回路，绕开困难点，利用一些几何关系，通过数量积的工具最终达到消点（向量）的目的，从而使得问题迎刃而解．
1 利用线性运算消点
例1 （2018辽宁联考）已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足，则一定为的（    ）
(A)边中线的三等分点（非重心）     
(B)边的中点     
(C)边中线的中点       
(D)重心
分析 该题所涉及的点有五个点，由于点比较多，使得不容易直接得到点与的位置关系，故先试图消去一些点．
解 先把化为整系数方程式，得，从而，所以，作的中点为，则，即，所以点为边中线的三等分点（非重心）．
点评 观察所给向量方程式系数的关系，发现等号两边系数是“平衡”（系数和相等）的，则可以通过适当拆分向量，利用向量加、减法运算，可以逐步消去点，从而得到的关系，问题得解．事实上，题中所给的条件“是的重心”是多余的．
例2（2014高考湖南（理））在平面直角坐标系中，为原点，，，，动点满足，则的最大值是           ．
分析 问题所涉及点较多，向量不容易表示，故试图消去一些点，简化目标向量是一个基本思路．
 

图1

解   如图1，，记点关于原点的对称点为，则
，
那么，
所以．
点评 利用向量的线性运算，逐步消去点，将目标向量简化为向量，从而转化为圆上一点到定点的距离求最大值．
例3 （2016高考四川（理））在平面内，定点满足，，动点满足，，则的最大值是（    ）
(A)          (B)        (C)        (D)
 

图2

分析 由及，不难得到为外接圆圆心，且半径为2，．题中点的位置较难刻画，故可以试图利用向量的线性运算，消去点．解 如图2，延长交圆与点，



．
所以，
，当且仅当与同向时等号成立，故的最大值是为．
点评 通过向量的线性运算，逐步将向量转化为，从而实现了消去点的想法，又的模已知，故易求出的最大值．
2 利用特殊的几何关系消点
 

图3

2.1 利用中线消点例4 （2018高考天津（理））如图3，在平面四边形ABCD中，
，，，.
若点E为边CD上的动点，则的最小值为（   ）  
(A)        (B)        (C)        (D)  
分析 此题易想到用基底法来求解，即将,用基底，表示，但从点的位置可以看出表示,比较困难，尝试重新构造闭合回路，消去点．
 

图4

解 如图4，作的中点，连接，则,.


.
所以，只要求出的最小值，即点到的距离，至此，就彻底消掉了点．过点作的垂线，垂足为，由几何关系易求得,所以的最小值为．
点评 通过中线，构造闭合回路，于是,，在计算数量积时，因为中点的性质所以有，这对于消去点起到了关键作用．
2.2 利用中垂线消点
例5 （2018浙江温州一模）已知△的边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的值为（   ）
(A)           (B)        (C)        (D)  
 

图5

分析 点是的垂直平分线与的交点，无法刻画该点，所以无法用基底，表示，故只能通过构造闭合回路，绕开点，并试图消去点．解 如图5，连接，则，

      
       ．
点评 通过中线，中垂线，构造闭合回路，于是，在计算数量积时，由于中垂线的性质，有，从而消掉点．
例6 （2018南昌市重点中学高三段考）已知△中，，，点为△所在平面内一点，满足，则           ．
分析 由题意，是△外接圆的圆心，若考虑用，作基底，由于位置的特殊性，难以用，表示出来．故只能通过构造闭合回路，绕开点，并试图消去点．
 

图6

如图6，作的中点，连接，，则是的垂直平分线，为△中边上的中线，于是，
      
       ，
所以，．
点评 此题的中垂线是隐含条件，通过中线，中垂线，构造闭合回路，于是，在计算数量积时，利用，则有，从而消掉点．
2.3 利用直角消点
例3解法2  如图7，延长交圆周于点，连，则，
    则在方向上的投影为，
    在方向上的投影为，
 

图7

从而，
所以.
点评 通过延长到，将转化为，从而消去位置难以刻画的点，再利用圆内直角关系，很容易求出，问题得解．
2.4 利用中点消点（向量）
 

图8

例7 如图8，已知等边的边长为2，圆的半径为1，为圆的任意一条直径．求的最大值．分析 本题涉及的两个向量不能直接求数量积，则可以考虑利用题目隐含的中点关系，转化向量，从而消去向量．
解 作中点，连接，则有：





，当且仅当时等号成立，所以的最大值为3．
点评 此题求解的关键是利用两个中点关系，最终将两个不知道模和夹角的向量的数量积转化成了，整个求解的思路就是消点（）．
古人云，三十六计走为上计．就是告诉人们，遇到问题和困难不要盲目死磕，要学会审时度势，避其锋芒，迂回前进．向量最大的特点就是能够“绕来绕去”，是能够实现迂回前进的有效工具．平面向量问题中常常遇到涉及的点较多，或者点位置难以刻画的问题，这时候不要强行试图利用基底表示相关向量，而要巧妙利用向量的线性运算法则，以及题目中一些特殊的几何关系，逐步消点，从而化繁为简，或者避开位置难以刻画的点，将难以表示的向量转化为已知向量，便能有效解决问题．